Physics-Informed Gaussians: A New Approach to Solving PDEs
Приближение уравнений в частных производных (УЧП) с использованием нейронных сетей достигло значительных успехов благодаря физически обоснованным нейронным сетям (PINN). Несмотря на их простую оптимизационную структуру и гибкость в реализации различных УЧП, PINN часто страдают от ограниченной точности из-за спектрального смещения многослойных перцептронов (MLP), которые с трудом учатся эффективно распознавать высокочастотные и нелинейные компоненты. В последнее время были исследованы параметрические меш-репрезентации в сочетании с нейронными сетями как многообещающий подход для устранения индуктивных смещений нейронных сетей. Однако они обычно требуют очень высокорастяжимых сеток и большого количества опорных точек для достижения высокой точности при избежании проблем перенапряжения. Кроме того, фиксированные позиции параметров сетки ограничивают их гибкость, что затрудняет точное приближение сложных УЧП. Чтобы преодолеть эти ограничения, мы предлагаем физически обоснованные гауссианы (PIG), которые комбинируют встраивание признаков с использованием гауссовых функций и легковесной нейронной сети. Наш подход использует обучаемые параметры для среднего значения и дисперсии каждого гауссиана, что позволяет динамически изменять их позиции и формы во время обучения. Эта адаптивность позволяет нашей модели оптимально приближать решения УЧП, в отличие от моделей с фиксированными позициями параметров. Более того, предложенный подход сохраняет ту же оптимизационную структуру, которая используется в PINN, что позволяет нам получать преимущества от их отличных свойств. Экспериментальные результаты показывают конкурентоспособные характеристики нашей модели по различным УЧП, демонстрируя её потенциал как надежного инструмента для решения сложных УЧП. Наша страница проекта доступна по адресу https://namgyukang.github.io/Physics-Informed-Gaussians/.